Kurt Godel. Uno che ne sapeva a pacchi

Kurt Godel è stato un matematico e filosofo che nel 1931 elaborò i famosi “teoremi dell’incompletezza”. Il primo di questi, semplificando, si può riportare così:

In ogni formalizzazione coerente della matematica che sia sufficientemente potente da poter assiomatizzare la teoria elementare dei numeri naturali — vale a dire, sufficientemente potente da definire la struttura dei numeri naturali dotati delle operazioni di somma e prodotto — è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all’interno dello stesso sistema.

Se non lo avete capito fino in fondo non preoccupatevi, siamo più o meno sulla stessa barca. Per me, il teorema dell’incompletezza si dovrebbe riassumere così:

“Se una torta è molto buona, ne mancherà almeno una fetta”.

Se volessimo però capirci qualcosa, del teorema originale, potremmo dire che Godel ha dimostrato questo: preso un sistema che si basi su assiomi (che so, la matematica, tanto per fare un esempio), non è mai possibile elencare tutti gli assiomi che permettano di dimostrare tutte le verità. E, soprattutto, per quanti assiomi uno possa includere nel suo sistema, ce ne sarà sempre uno che non è ancora stato incluso.
Per dimostrare qualcosa, in pratica, ci vorrebbe un sistema superiore che contenga quello che vogliamo dimostrare; ma anche il sistema superiore non potrà essere completo di tutti gli assiomi, e a sua volta avrà bisogno di un sistema a lui superiore che… insomma, ci siamo capiti: è roba incompleta, e che mai si completerà.

Come si fa allora a dimostrare l’esistenza di qualcosa che è superiore ai nostri assiomi incompleti? Qualcosa di superiore ai sistemi che riusciamo a capire e a manipolare, qualcosa come… Dio? La logica di Godel ci riuscì, matematicamente parlando: io quella dimostrazione non l’ho ben capita, ma del resto io paciugavo con il DNA, non con la logica. Non è che si può sapere tutto.

In ogni caso, due ricercatori (riporta un articolo di Repubblica) sarebbero riusciti a dimostrare con la “spaventosa” capacità di calcolo di un laptop (quale?) che il teorema di Godel è corretto.
Il teorema di Dio, com’è stato ribattezzato, si potrebbe semplificare così:
“Se Dio è possibile, allora esiste necessariamente. Ma Dio è possibile. Quindi esiste necessariamente”.

La spiegazione del teorema è un arzigogolo di logica, ed è pressappoco la seguente:

Gödel sostenne che, per definizione, non può esistere niente di più grande di un essere supremo e propose un modello matematico per provare l’esistenza di un tale potere, fondato su alcuni assiomi: “Ogni proprietà positiva è necessariamente positiva. Per definizione Dio ha tutte e solo le proprietà positive. L’esistenza necessaria è una proprietà positiva. Quindi Dio, se è possibile, possiede necessariamente l’esistenza. Il sistema di tutte le proprietà positive è compatibile. Quindi Dio è possibile. Essendo possibile, Dio esiste necessariamente”.

I due scienziati hanno preso il loro computerino, e hanno dimostrato che Godel aveva ragionato bene, ma non che Dio esiste per forza. Tanto che l’articolo di Repubblica, giustamente, conclude dicendo che “i matematici tengono a sottolineare che questo lavoro ha più a che fare con la dimostrazione che una tecnologia superiore può aiutare la scienza, che non col fatto che Dio esista o no”.
La verità, secondo me, è che il cervello di Godel era talmente avanti che solo un computer del 2013 è riuscito ad avere potenza di calcolo sufficiente a dimostrare che aveva ragione. Ma per dimostrare questa affermazione ci vorrebbe un computer ancora più potente, che…

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