Citazione:

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Trovo difficoltà a stimarla in questo caso perchè A non può assumere un valore diverso al di fuori dall'intervallo di misura e quindi utilizzando i "classici" metodi (fitting con una distribuzione parametrica o non parametrica) potrei ottenere anche un valore di A pari 6 che in realtà è irrealistico. Avete un qualche suggerimento da darmi per calcolare la distribuzione congiunta delle tra le due variabili?

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# Generiamo valori random di A
A <- sample(0:5, 50, replace=T)
# E i corrispondenti valori di B, lineari in A + un termine d'errore
B <- 300 * A + 3 * rnorm(50, 30, 150)
# Convertiamo A in un fattore con 6 livelli (0, 1, ..., 5)
A <- factor(A)

# Generiamo il nostro modello lineare
model <- lm(B~A)
summary(model)

Call:
lm(formula = B ~ A)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1191.77  -398.07   -45.15   478.37   986.22 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    139.0      187.5   0.741  0.46247    
A1             270.3      258.5   1.046  0.30147    
A2             187.8      313.8   0.598  0.55261    
A3             741.8      265.2   2.797  0.00761 ** 
A4            1309.8      252.8   5.180 5.30e-06 ***
A5            1402.2      296.5   4.729 2.35e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 562.6 on 44 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.5112,	Adjusted R-squared:  0.4557 
F-statistic: 9.204 on 5 and 44 DF,  p-value: 4.742e-06

Citazione:

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Messaggio inserito da chick80

Citazione:

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Trovo difficoltà a stimarla in questo caso perchè A non può assumere un valore diverso al di fuori dall'intervallo di misura e quindi utilizzando i "classici" metodi (fitting con una distribuzione parametrica o non parametrica) potrei ottenere anche un valore di A pari 6 che in realtà è irrealistico. Avete un qualche suggerimento da darmi per calcolare la distribuzione congiunta delle tra le due variabili?

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Scusami, ma se B dipende da A sei tu a definire A...

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Citazione:

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Io semplicemente utilizzerei un modello lineare (per iniziare, se non basta ci sono modelli più complessi) con cinque variabili dummy per i vari livelli di A (che sarà quindi considerato un fattore con 6 livelli) e una variabile continua per B.

Un esempio in R

# Generiamo valori random di A
A <- sample(0:5, 50, replace=T)
# E i corrispondenti valori di B, lineari in A + un termine d'errore
B <- 300 * A + 3 * rnorm(50, 30, 150)
# Convertiamo A in un fattore con 6 livelli (0, 1, ..., 5)
A <- factor(A)

# Generiamo il nostro modello lineare
model <- lm(B~A)
summary(model)

Call:
lm(formula = B ~ A)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1191.77  -398.07   -45.15   478.37   986.22 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    139.0      187.5   0.741  0.46247    
A1             270.3      258.5   1.046  0.30147    
A2             187.8      313.8   0.598  0.55261    
A3             741.8      265.2   2.797  0.00761 ** 
A4            1309.8      252.8   5.180 5.30e-06 ***
A5            1402.2      296.5   4.729 2.35e-05 ***
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Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 562.6 on 44 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.5112,	Adjusted R-squared:  0.4557 
F-statistic: 9.204 on 5 and 44 DF,  p-value: 4.742e-06

Come vedi vengono create 5 variabili dummy A1, A2, A3, A4, A5 e A=0 è utilizzato come livello di referenza.

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Citazione:

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Allora credo di essermi espresso male. Io comando A, B in realtà dipende da A e da altri parametri ed il valore massimo raggiungibile da B è dipendente da A.

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Citazione:

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Ok grazie. Prima di applicare questo devo convertire le frequenze assolute in relative, giusto?

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Citazione:

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Ordinal response variables can be analyzed with omnibus Pearson χ2 tests, base-line logit models or log-linear models. This corresponds to assuming that the response variable is nominal and information about the ordering of the categories will be ignored. Alternatively numbers can be attached to the response categories, e.g., 1,2, . . . , J and the resulting scores can be analyzed by conventional linear regression and ANOVA models. This approach is in a sense over-confident since the data are assumed to contain more information than they actually do. Observations on an ordinal scale are classified in ordered categories, but the distance between the categories is generally unknown. By using linear models the choice of scoring impose assumptions about the distance between the response categories. Further, standard errors and tests from linear models rest on the assumption that the response, conditional on the explanatory variables, is normally distributed (equivalently the residuals
are assumed to be normally distributed). This cannot be the case since the scores are discrete and responses beyond the end categories are not possible. If there are many responses in the end categories, there will most likely be variance heterogeneity to which F and t tests can be rather sensitive. If there are many response categories and the response does not pile up in the end categories, we may expect tests from linear models to be accurate enough, but any bias and optimism is hard to quantify

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Citazione:

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Messaggio inserito da chick80

Ma gli 0 sono proprio 0 oppure valori non misurati?
Perchè ad esempio sembrerebbe che le misure per a=5, 7 e 9 siano mancanti... (nota che ho rappresentato la radice quadrata di b)

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Citazione:

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In questo caso mi sembra di capire che a sia una variabile ordinale.
Leggiucchiando un po' su Google mi sembra che non ci sia una soluzione definitiva su come utilizzarle in un modello.
Essenzialmente hai due opzioni:

1) la consideri come un fattore (es. usando as.factor in R), il che creerà una serie di variabili dummy e perdi l'informazione sull'ordine delle categorie
2) la consideri come fosse un valore continuo ma questo pone ovviamente vari problemi.

Dalla vignette del package clm che spiega questa cosa nell'introduzione:

Citazione:

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Ordinal response variables can be analyzed with omnibus Pearson #967;2 tests, base-line logit models or log-linear models. This corresponds to assuming that the response variable is nominal and information about the ordering of the categories will be ignored. Alternatively numbers can be attached to the response categories, e.g., 1,2, . . . , J and the resulting scores can be analyzed by conventional linear regression and ANOVA models. This approach is in a sense over-confident since the data are assumed to contain more information than they actually do. Observations on an ordinal scale are classified in ordered categories, but the distance between the categories is generally unknown. By using linear models the choice of scoring impose assumptions about the distance between the response categories. Further, standard errors and tests from linear models rest on the assumption that the response, conditional on the explanatory variables, is normally distributed (equivalently the residuals
are assumed to be normally distributed). This cannot be the case since the scores are discrete and responses beyond the end categories are not possible. If there are many responses in the end categories, there will most likely be variance heterogeneity to which F and t tests can be rather sensitive. If there are many response categories and the response does not pile up in the end categories, we may expect tests from linear models to be accurate enough, but any bias and optimism is hard to quantify

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Ti lascio con queste riflessioni... :D e ci ripenso magari stasera.
Nel frattempo se uno dei nostri cari statistici facesse un giro da queste parti...

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Citazione:

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Allora ho indicato nell'istogramma il numero di volte un certo dato si presenta, quindi per me lo 0 è un dato che è mancante. Dovrei quindi eliminare quei valori?

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Citazione:

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Messaggio inserito da chick80

Citazione:

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Allora ho indicato nell'istogramma il numero di volte un certo dato si presenta, quindi per me lo 0 è un dato che è mancante. Dovrei quindi eliminare quei valori?

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In generale 0 vuol dire che B non assume mai quel valore (es. per a=10 b non è mai tra 0 e 322). Se invece tu non avessi mai misurato B per a=9 dovresti indicarlo con NA (not available), per dire che B potrebbe essere in quel range, ma tu non hai dati per dirlo o meno. Ha senso?

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Citazione:

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Messaggio inserito da chick80

No, aspetta, mi sa che ci stiamo confondendo.

Quello che dico io è:

1) metti A=1 e misuri B. Ottieni 100, 300 e 500
2) metti A=2 e misuri B. Ottieni 200, 400 e 600
3) metti A=4 e misuri B. Ottieni 500, 800 e 1000

Per semplicità ipotizzo che le classi di B siano 0-99, 100-199, 200-299, ...
Quindi per A=1 avrai 0 misure in 0-99, 1 in 100-199, 0 in 200-299, e così via
Per A=2 avrai 0, 0, 1, 0, 1,...
Per A=3 non avrai tutti 0, perchè quei valori non li hai mai misurati! Quindi o non consideri 3 nella tua analisi oppure lo indichi come NA (ma se ti mancano tutti i valori è come non considerarlo).

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